Estimación del VaR mediante un modelo condicional multivariado bajo la hipótesis α-estable sub-Gaussiana

El objetivo de la presente investigación es describir a grandes rasgos la teoría de las distribuciones estables multivariadas, con el objetivo de estimar un modelo GARCH multivariado estable sub-Gaussiano, que posteriormente se aplica en la estimación del VaR de un portafolio.

El creciente interés en el uso de las distribuciones α-estable o estables ha sido motivado por sus diversas aplicaciones a problemas prácticos, entre ellos, su aplicación en el modelo de portafolios financieros. A partir de los trabajos seminales de Mandelbrot (1963) y Fama (1965), los modelos estables que describen los rendimientos de activos financieros han ido ocupando un lugar prominente tanto en estadística como en la literatura financiera (por ejemplo: Rachev y Han, 2000; Mittnik y Rachev, 1989, Rachev y Mittnik, 2000; Panorska, Mittnik y Rachev, 1995; Mittnik, Rachev y Paolella, 1997).

Las distribuciones estables son de interés, debido a que el Teorema del Límite Central Generalizado afirma que el único límite no trivial de sumas de variables aleatorias normalizadas independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.), es estable. Es decir, los vectores aleatorios estables poseen la propiedad que cualquier combinación lineal de sus componentes es α-estable, lo cual es una característica muy útil en la teoría de portafolios, ya que bajo el supuesto de que los rendimientos de los activos siguen una distribución estable conjunta, entonces el rendimiento de cualquier portafolio de estos activos también sigue una distribución α-estable.

Por otro lado, en el manejo de riesgos, el principal interés es modelar el caso extremo de las posibles pérdidas. A partir de las investigaciones empíricas, sabemos que una pérdida extrema en un activo, muy a menudo conduce a altas pérdidas en muchos otros activos. Este comportamiento del mercado no puede ser modelado por la distribución normal, pero con ciertas distribuciones elípticas, como por ejemplo, la distribución α-estable sub-Gaussiana, podemos capturar este comportamiento.

Sin embargo, y aunque el problema de estimación de los parámetros en el caso univariado ha sido resuelto satisfactoriamente (ver McCulloch, 1986; Nolan, 2001), hasta ahora, la literatura sobre la distribución estable multivariada es escasa.

El principal obstáculo en la implementación de modelos estables es la ausencia de expresiones analíticas explícitas para la función de densidad de probabilidad (excepto las distribuciones de Gauss, Cauchy y Levy). En el caso univariado, es posible utilizar la fórmula de inversión para recuperar la función de densidad de probabilidad (pdf, por sus siglas en inglés). En este contexto, el método basado en la transformada rápida de Fourier (FFT, por sus siglas en inglés) ha demostrado tener un buen desempeño en el cálculo de la densidad para un gran número de datos (ver Nolan, 1997; Mittnik, Doganoglu y Chenyao, 1999; Khindanova, Rachev y Schwartz, 2001). Desafortunadamente, en el caso multivariado, el cálculo de la pdf es aún más complicado. La función característica conjunta general implica el cálculo de una integral con respecto a la llamada medida espectral, es decir, una medida de Borel finita sobre la esfera unitaria $S_d$ $\in$ ${\text{R}}^d$ , donde d representa la dimensión del vector estable multivariado.

Hasta hoy, algunos casos específicos dentro del caso general han sido resueltos. Un método para estimar los parámetros de un portafolio estable se describe en Press (1972). Modarres y Nolan (1994) presentan un método para simular vectores aleatorios estables multivariados. Byczkowski, Nolan, y Rajput (1993) y Nolan y Rajput (1997) describen un método para aproximar medidas espectrales estables mediante una medida discreta, además del cálculo numérico de la densidad estable multivariada. Por otro lado, Nolan, Panorska y McCulloch (2001) presentan dos métodos de estimación de las medidas espectrales, uno basado en la función característica empírica y otro en las proyecciones unidimensionales de los datos.

Además, Mittnik y Rachev (1993) sugieren un método para estimar el exponente característico y la medida espectral de una distribución estable bivariada generalizada, empleando solo un pequeño subconjunto de datos extraídos de las colas extremas. McCulloch (2000) presenta un método para estimar la medida espectral de una distribución estable bivariada generalizada, basada en la serie de estimaciones de los parámetros estable de las proyecciones univariadas de todo el conjunto de datos, obtenidas por máxima verosimilitud. La correspondiente densidad espectral estable es obtenida mediante programación cuadrática.

El primer objetivo de esta investigación es proponer un modelo de volatilidad multivariable, el cual combina la propiedad de la distribución α-estable para modelar colas pesadas con el modelo GARCH para capturar clúster de volatilidad. El supuesto inicial es que condicionalmente los rendimientos siguen una distribución sub-Gaussiana, la cual es un caso particular de las distribuciones estables multivariadas.

Esta opción permite trabajar con una expresión de la función característica multivariada manejable. A diferencia de Bonato (2012), quien emplea un modelo GARCH multivariado bajo la hipótesis sub-Gaussiana restringido a dos dimensiones, en la presente investigación, el modelo propuesto se aplica a un portafolio compuesto por 5 activos pertenecientes a la Bolsa Mexicana de Valores (BMV).

El segundo objetivo es aplicar el modelo GARCH, propuesto en la estimación del VaR bajo la hipótesis α-estable sub-Gaussiana, a un portafolio compuesto por 5 activos que cotizan en la BMV.

Finalmente, dado que no hay evidencia empírica sobre el desempeño de los modelos VaR en la medición de riesgo durante períodos de alta volatilidad en los precios de los activos en el mercado financiero mexicano, se realiza una prueba de desempeño del VaR (backtesting), la cual permite analizar y comparar el desempeño del modelo propuesto con la estimación del VaR obtenida bajo la hipótesis multivariada Gaussiana, t-Student y Cauchy durante el período de la crisis financiera de 2008.

La principal contribución de este trabajo es que proporciona evidencia acerca de que las estimaciones del VaR mediante el modelo GARCH multivariado, bajo la hipótesis α-estable sub-Gaussiana, muestran un mejor desempeño durante períodos de turbulencias financieras.

El resto del documento se organiza de la siguiente forma: en la sección 2, se presenta una breve descripción teórica de las distribuciones estables multivariadas. La sección 3 proporciona una descripción de la distribución multivariada α-estable sub-Gaussiana y su respectiva estimación. El modelo GARCH multivariado sub-Gaussiano propuesto es descrito en la sección 4. En la sección 5, se presenta el análisis del comportamiento elíptico de los datos, la estimación de la matriz de dispersión, los resultados del modelo GARCH multivariado estable sub-Gaussiano y su respectiva aplicación, en el cálculo del VaR -por lo que se sabe, por primera vez- a un portafolio compuesto por acciones de la BMVM, y la valuación de su desempeño se describe en la sección 6. El documento finaliza con las conclusiones y sugerencias de posibles líneas de investigación. $$

Definición. Un vector aleatorio d-dimensional $X=\left(X_1,X_{\mathrm{2,}}K,X_d\right)$ es estable si, para todo $n\ge 2$ , existe una constante $A_n$ y un vector $B_n$ , tal que:

$X^{\left(1\right)}+X^{\left(2\right)}+\Lambda +X^{\left(n\right)}{=}^d{A}_{n}X+B_n$ ,

donde $X^{\left(1\right)},X^{\left(2\right)},\dots ,X^{\left(n\right)}$ son copias i.i.d. de $X.$ La constante debe ser de la forma $A_n=n^{1/\alpha }$ , donde $0<\alpha \le 2$ es el índice de estabilidad.

Algunas veces es utilizado el término conjuntamente estable para subrayar el hecho de que todas las componentes $X_j$ del vector estable $X$ deben ser α-estable univariadas¹, bajo un mismo índice de estabilidad $\alpha .$ Esto se deduce del siguiente teorema, y justifica el uso del término vector aleatorio α-estable.

Teorema. i) Sea $X$ un vector aleatorio estable. Entonces toda proyección unidimensional $u.X=\sum u_i{X}_i$ es una variable aleatoria estable unidimensional, con el mismo índice $\alpha$ para todo $u\in R^d.$

ii) Inversamente, supongamos que $X$ es un vector aleatorio con la propiedad de que toda proyección unidimensional $u\cdot X$ es estable, lo cual se denota como $u\cdot X$ $\sim S\left(\alpha \left(u\right),\beta \left(u\right),\gamma \left(u\right),\delta \left(u\right)\right).$ Entonces, existe un único $\alpha$ , el cual es el índice de estabilidad de todas las proyecciones, es decir, $\alpha \left(u\right)=\alpha$ es constante. Si $\alpha \ge \mathrm{1,}$ entonces $X$ es estable. Si $\alpha <1$ , y la función $\delta \left(u\right)$ y el vector de parámetros de localización o posición $\delta =\left({\delta }_1,K,{\delta }_d\right)$ de los componentes $X_1,\dots ,X_d$ (todos en la 1-parametrización) están relacionados por:

entonces, $X$ es estable.

La demostración de la primera parte de este teorema es la demostración del Teorema 2.1.2 de Samorodnitsky y Taqqu (1994), la segunda es la demostración del Teorema 2.1.5 (c) de Samorodnitsky y Taqqu (1994) cuando $\alpha \ge \mathrm{1,}$ la demostración del caso $\alpha <1$ se encuentra en Nolan (1999).

Una ventaja del teorema anterior es que proporciona una forma de parametrizar las distribuciones estables multivariadas en términos de proyecciones unidimensionales. Es decir, conociendo la función característica de $u\cdot X$ para todo $u$ , es posible conocer la función característica de $X.$ Por lo cual, $\alpha$ y las funciones $\beta (\cdot ),\gamma (\cdot ),\delta (\cdot )$ caracterizan completamente la distribución conjunta. De hecho, conociendo estas funciones sobre la esfera unitaria $S_d=\{u\in R^d:\left|u\right|=1\}$ , es posible caracterizar la distribución.

Otra ventaja del teorema, es que proporciona una forma de evaluar si un conjunto de datos multivariables es estable, examinando solo las proyecciones unidimensionales de los datos. Se realizan proyecciones en múltiples direcciones, y se observa si estas son bien descritas por distribuciones estables univariadas. Si es así, y el índice de estabilidad es el mismo para todas las direcciones (si $\alpha <\mathrm{1,}$ el parámetro de posición, satisface (1)), entonces un modelo estable multivariado es apropiado.

Desafortunadamente, ajustar distribuciones α-estable multivariadas a los datos en el caso de dimensiones mayores a 2 aún no es factible, dado que la medida espectral de la función característica es extremadamente difícil de estimar (ver Cheng y Rachev, 1995; Nolan, Panorska y McCulloch, 2001); pero algunos casos especiales son computacionalmente accesibles.

En esta investigación, son tomadas en cuenta las distribuciones multivariadas α-estable sub-Gaussianas o Elípticas, las cuales son una subclase del caso general, por lo cual satisfacen el Teorema del Límite Central generalizado, lo cual las hace atractivas en la teoría financiera.

La extensión del caso multivariado de los modelos Autorregresivo con Heterocedasticidad Condicional (ARCH), introducido por Engle (1982), y el modelo ARCH generalizado o GARCH, propuesto por Bollerslev (1986) para describir la heteroscedasticidad de las variables financieras, ha sido prolífico. Sin embargo, la mayoría de estos modelos descansan en el supuesto de que los datos siguen una distribución normal multivariada o t-student, por lo cual es posible describir la estructura de dependencia de los activos mediante la matriz de varianza-covarianza.

La aplicación de las distribuciones estables en los modelos GARCH es relativamente nueva. Panorska, Mittnik y Rachev (1995); Mittnik, Paolella y Rachev (2002); Curto, Pinto y Tavares (2009); Bonato (2012), Naka y Oral (2013); y Mohammadi (2017) emplean modelos GARCH con distribuciones estables para examinar la volatilidad de los rendimientos financieros. En esta investigación, se propone un modelo GARCH multivariado elíptico o sub-Gaussiano, donde la estructura de dependencia de los activos es descrita mediante la matriz de dispersión, lo cual nos permite reducir los cálculos numéricos. El modelo se describe a continuación.

Definamos ${\epsilon }_t=r_t-{\mu }_t$ como el vector de las innovaciones de los rendimientos. Supongamos que ${\epsilon }_t$ es un vector α-estable sub-Gaussiano, es decir ${\epsilon }_t=A^{1/2}G$ , donde $A\sim S\left(\alpha /\mathrm{2,}\mathrm{1,}\gamma ,0\right)$ es una variable aleatoria α/2-estable, totalmente sesgada a la derecha con $0<\alpha <2$ y $G\sim N\left(\mathrm{0,}\Sigma \right)$ , un vector aleatorio multivariado normal $d-$ dimensional con media nula y matriz de varianza-covarianza $\Sigma$ independiente de $A.$

Por lo cual, el vector de rendimientos del portafolio $R_t=\sum _{i=1}^d{\omega }_i{r}_{i,t}$ , donde $\omega =\left({\omega }_1,K,{\omega }_d\right)$ representa los pesos del portafolio, es un vector α-estable sub-Gaussiano con parámetros de proyección $\gamma \left(\omega \right)={\left({\omega }^T\Sigma \omega \right)}^{1/2},$ $\beta \left(\omega \right)=\mathrm{0,}$ $\delta \left(\omega \right)=〈\omega ,\delta 〉.$ Lo cual, es consecuencia directa del Teorema del Límite Central Generalizado.

El índice de estabilidad del portafolio $\alpha$ no se estimará directamente de la distribución de los rendimientos del mismo, pues hacerlo de esta forma no sería adecuado, dado que no se consideraría la estructura de dependencia y la heterocedasticidad condicional de los rendimientos. Por lo tanto, para considerar estas dos características previamente mencionadas, se propone introducir un modelo GARCH multivariante y estimar $\alpha$ de la distribución de los rendimientos condicionales.

Siguiendo a Bonato (2012), optamos por el modelo GARCH multivariante con correlaciones condicionales dinámicas (DCC), propuesto por Engle (2002), debido a que su estimación es computacionalmente accesible y además es un modelo flexible que permite especificaciones distintas en los GARCH univariados, utilizados para calcular la matriz diagonal $D_t.$ En esta investigación, la estimación de los GARCH univariados se realiza según el método descrito en Serrano y Mata (2018).

Engle (2002) define el modelo de la siguiente forma:

donde ${\mu }_t$ es el vector de medias condicionales, $R_t$ es la matriz de correlaciones condicionales, ${\sigma }_{i,t}$ es la desviación estándar condicional de los GARCH univariados y $Q_t(d\times d)$ es una matriz definida positiva $Q_t=\left(1-a-b\right)R+a{u}_{t-1}{u}_{t-1}^T+b{Q}_{t-1}$ , donde $u_t$ son los residuos estandarizados obtenidos de los GARCH univariados, $R$ es la matriz de covarianzas no condicionales de los residuos $u_t$ , y $a$ y $b$ son constantes positivas; el proceso presenta reversión a la media, siempre y cuando $a+b<1.$

En el modelo propuesto por Engle (2002), la hipótesis es que $r_t$ sigue una distribución gaussiana con matriz de covarianza ${\text{Σ}}_t$ , sin embargo, nuestra hipótesis es que los rendimientos siguen una distribución sub-Gaussiana estable, por lo cual en nuestro modelo propuesto, ${\text{Σ}}_t$ es reemplazada por la matriz de dispersión.

Como se mencionó previamente, la estimación de la matriz diagonal D _t se efectúa empleando los modelos GARCH estable univariados, es decir ${\sigma }_{i,t}$ es el parámetro de escala condicional del i-ésimo componente de $X$ y los elementos de la matriz R se estiman usando el método de la proyección propuesto por Nolan (2013).

De acuerdo con los trabajos de Mittnik, Paolella y Rachev (2002), y más recientemente Mohammadi (2017), lo anterior nos permite asegurar que nuestro modelo GARCH multivariado satisface las condiciones de estacionariedad.

Además, para estimar la matriz de dispersión empleamos el modelo propuesto por Nolan (2013), que se describe en la sección anterior, lo cual nos permite reducir los cálculos numéricos y por ende aumentar la rapidez de ejecución del algoritmo computacional. Esto nos da una ventaja sobre el modelo GARCH estable, propuesto por Bonato (2012), donde los cálculos numéricos son intensos, por lo cual su modelo solo se aplica a un portafolio bivariado; a diferencia de este, nuestro modelo es aplicado a un portafolio compuesto por 5 activos financieros.

En esta investigación, se propuso un modelo GARCH α-estable sub-Gaussiano multivariado, el cual combina la propiedad de la distribución α-estable para modelar colas pesadas con el modelo GARCH, para capturar clúster de volatilidad. La finalidad fue comparar el desempeño de esta especificación, en relación con los casos de la distribución normal, Cauchy y t-Student.

En particular, se realizó la estimación del VaR bajo la hipótesis α-estable sub-Gaussiana durante el período de la crisis financiera de 2008, a partir de un portafolio compuesto por 5 activos financieros que cotizan en la BMV.

Los resultados estadísticos sugieren que el modelo VaR α-estable sub-Gaussiano proporciona estimaciones del VaR cuyas pruebas de backtesting tienen un mejor desempeño, en períodos de alta volatilidad; es decir, las estimaciones del VaR son más eficientes bajo el supuesto de que los rendimientos siguen una distribución α-estable sub-Gaussiana durante períodos de turbulencias financieras.

Sin embargo, es necesaria investigación adicional. Por ejemplo, sería conveniente considerar un conjunto mayor de distribuciones de probabilidad que también capturen las características empíricas de las series de datos financieros y comparar su desempeño con el modelo α-estable sub-Gaussiano aquí propuesto. Además, se podrían emplear funciones cópula para describir las correlaciones entre los rendimientos de las acciones, empleando tanto la distribución estable como la distribución marginal de los activos que conforman el portafolio.